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Note: Not all numbers which meet the above conditions are prime. For this method, it is also necessary to check for divisibility by all primes that are less than c.

Observations analogous to the preceding can be applied recursively , giving the Sieve of Eratosthenes. A good way to speed up these methods and all the others mentioned below is to pre-compute and store a list of all primes up to a certain bound, say all primes up to Then, before testing n for primality with a serious method, n can first be checked for divisibility by any prime from the list.

If it is divisible by any of those numbers then it is composite, and any further tests can be skipped. A simple, but very inefficient primality test uses Wilson's theorem , which states that p is prime if and only if:.

Although this method requires about p modular multiplications, rendering it impractical, theorems about primes and modular residues form the basis of many more practical methods.

More sophisticated methods described below are much faster for large n. These are tests that seem to work well in practice, but are unproven and therefore are not, technically speaking, algorithms at all.

The Fermat test and the Fibonacci test are simple examples, and they are very effective when combined. The first condition is the Fermat primality test using base 2.

The problem is still open as of September 11, Probabilistic tests are more rigorous than heuristics in that they provide provable bounds on the probability of being fooled by a composite number.

Many popular primality tests are probabilistic tests. These tests use, apart from the tested number n , some other numbers a which are chosen at random from some sample space ; the usual randomized primality tests never report a prime number as composite, but it is possible for a composite number to be reported as prime.

After one or more iterations, if n is not found to be a composite number, then it can be declared probably prime. The simplest probabilistic primality test is the Fermat primality test actually a compositeness test.

It works as follows:. In fact, is the smallest pseudoprime base 2 see Figure 1 of [3]. There are only pseudoprimes base 2 that are less than 2. This means that, for n up to 2.

Nevertheless, the Fermat test is often used if a rapid screening of numbers is needed, for instance in the key generation phase of the RSA public key cryptographic algorithm.

These are also compositeness tests. Otherwise, n may or may not be prime. For each individual value of a , the Solovay—Strassen test is weaker than the Miller—Rabin test.

This is because is an Euler pseudoprime base 2 but not a strong pseudoprime base 2 this is illustrated in Figure 1 of PSW [3].

The Miller—Rabin and the Solovay—Strassen primality tests are simple and are much faster than other general primality tests.

One method of improving efficiency further in some cases is the Frobenius pseudoprimality test ; a round of this test takes about three times as long as a round of Miller—Rabin, but achieves a probability bound comparable to seven rounds of Miller—Rabin.

The Frobenius test is a generalization of the Lucas pseudoprime test. The Baillie—PSW primality test is a probabilistic primality test that combines a Fermat or Miller—Rabin test with a Lucas probable prime test to get a primality test that has no known counterexamples.

That is, there are no known composite n for which this test reports that n is probably prime. Leonard Adleman and Ming-Deh Huang presented an errorless but expected polynomial-time variant of the elliptic curve primality test.

Unlike the other probabilistic tests, this algorithm produces a primality certificate , and thus can be used to prove that a number is prime. If quantum computers were available, primality could be tested asymptotically faster than by using classical computers.

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